王业流
[摘 要] 数学知识具有概括性、抽象性的特点，学生只有具备数学抽象思想方法，才会提取有效的信息，建立数学模型，解决实际问题，认识数学本质. 数学抽象是指能够从具体的情境中提炼数学模型建构知识的能力，教师要通过问题引导学生探究数学知识的抽象性，体会数学知识的发生过程，不断探索问题的本质，提升学生的抽象思维能力.
[关键词] 数学抽象;理性认识;本质
数学抽象是从具体的事物和现象中概括出数学原理、方法、思想. 数学学习的过程始终贯穿着数学抽象思想方法. 首先，学习数学概念、定理、规则、公式等，需要通过数学抽象能力进行概括和推导;其次，在解决实际问题的过程中，只有通过数学抽象才能与数学知识建构联系，形成数学模型，在知识迁移中解决问题. 数学抽象是学生在学习过程中由感性认识上升到理性认识的桥梁，只有具备数学抽象思想方法才能认识事物的本质特征，体会数学的魅力. 因此，在数学教学过程中，发展抽象思维能力是提升学生数学核心素养的根本要求. 数学教学如果仅仅满足于知识的传授和讲解，让学生停留在模仿解题的阶段，未能进行深度思考，深化思维认识，就不利于学生的长远发展. 笔者在教学实践中不断探寻培养学生数学抽象能力的方法，产生了一些体会和思考，下面以“一次函数与二元一次方程”为例，谈一谈如何在教学实践中培养学生的数学抽象思维能力.
教学过程
1. 温故知新，提出问题
师：（通过多媒体展示x+y=3）大家观察一下这个式子属于哪一类方程.
生1：这个式子属于方程中的二元一次方程.
师：对这个二元一次方程进行恒等变形，比如得到y=-x+3，这时它又是一个什么式子呢？
生2：变成了一次函数.
师：此时，现在我们知道了一个式子可以同时有两个不同的概念，既可以是方程，又可以是函数，虽然这是两个完全不同的概念，但是它们之间有没有什么关系呢？
设计意图 以学过的简单等式创设情境，通过设计问题导入新课，引导学生进入新课学习状态，以情境作为新课探究的起点. 让学生通过情境感受到数学知识之间存在联系和逻辑顺序，激发学生探究新知的好奇心，并在数学知识中渗透了数学抽象思想.
2. 提炼类比，归纳新知
（1）二元一次方程与一次函数
师：二元一次方程x+y=3有几个解？任意取一个解，如x等于1，y等于2时，对应的点的坐标（1，2）在函数y=-x+3的图象上吗？
生3：我们可以把函数y=-x+3的图象画出来，通过观察图象就知道点（1，2）是否在函数y=-x+3的图象上. 换言之，方程x+y=3的解是直线y=-x+3上的点的坐标.
师：刚才的解答中得到了方程x+y=3的一个解，那么方程x+y=3还有其他的解吗？这个规律还适用吗？
生4：我们可以通过举例进行说明，再找方程x+y=3的一个解，当x等于-1，y等于4时，对应的点的坐标就是（-1，4），我们可以看到这个点同样在对应函数的图象上.
师：同学们，通过刚才的研究，我们有没有发现二元一次方程和一次函数之间有着怎样的联系呢？
（学生通过观察、思考和交流，得到了直观的结论）
生5：通过刚才列举的两个例子，我们知道二元一次方程的解就是一次函数图象上的点的坐标.
（2）一次函数与二元一次方程组
师：通过刚才的学习，我们了解的是哪两者之间的关系？
生6：二元一次方程与一次函数之间的关系.
师：那么你们觉得接下来还需要了解一次函数与什么之间的关系呢？
生7：还有二元一次方程组与一次函数的关系.
师：我们可以通过刚才的探究方法来研究二元一次方程组的解与一次函数的关系.
（小组进行讨论交流，然后展示结果）
小组汇报：二元一次方程组的解，也就是两个二元一次方程的公共解，我们画出了对应的两个一次函数的图象，它们相交的点的坐标就是二元一次方程组的解;接下来，我们验证了相交点的坐标是否为这两个二元一次方程的公共解，于是明白了二元一次方程组与一次函数的关系.
师：非常好，从刚才的解答过程中我们不仅探究了两者之间的关系，而且学会了一种新的解二元一次方程组的方法，这种方法在数学上叫图象法.
师：下面同学们把刚才解答二元一次方程组的过程总结一下.
学生总结出利用图象法求解二元一次方程组的步骤：首先是转化，将二元一次方程组转化成对应的两个一次函数;其次将两个一次函数的图象画出来进行观察;再次通过观察找到两条直线的交点的坐标，确定二元一次方程组的解.
师：我们仿照前面总结二元一次方程与一次函数的关系来总结二元一次方程组与一次函数的关系.
（学生经过观察和讨论，非常轻松地得到了二元一次方程组与一次函数的关系）
设计意图 这一环节通过设置符合学生的认知水平、贴近学生实际的问题引导学生进行分析、探究和解决，使学生亲身体验如何去探讨两者的关系，体会分析问题的思路，以及经历知识发现的过程. 教学中教师通过设计层层递进的问题，帮助学生更好地概括一次函数与二元一次方程以及二元一次方程组的关系;同时，引导学生总结解题中运用的数学方法，体会数形结合思想.
3. 巩固提升，深化认识
问题1：有两个探测气球分别用来探测海拔的高度，其中1號探测气球位于海拔5米的高度，以每分钟1米的速度上升;2号探测气球位于海拔15米的高度，以每分钟0.5米的速度上升.
（1）请你将两个探测气球所在位置的海拔高度y（单位：m）与上升的时间x（单位：min）之间的函数关系表示出来.
（2）两个探测气球能不能在某一个时刻处于同一高度？如果可以，请你分别计算出两个探测气球所在的海拔高度和上升时间.
学生讨论交流，教师进行点拨，审题后运用所学知识逐步进行解答. （解答过程略）
问题2：如图1所示，根据上述的解题过程，若从函数的观点来看方程组y=x+5，
y=0.5x+15，可以得到哪些结论？得到的结论可以进行推广吗？
通过刚才的探讨，学生知道了每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，即两条直线，体现了数形结合思想. 从“数”的角度来说，求解二元一次方程组相当于求自变量为何值时对应的两个一次函数的值相等;从“形”的角度来说，二元一次方程组的解就是确定两个一次函数相交的点的坐标.
设计意图 将数学知识在具体问题中的应用抽象概括得到的定理推广到一般问题的应用中，是一个类属性同化的过程，也是一个从高层次进行抽象概括的过程. 问题1以探测气球升空为背景，通过函数知识解决问题，强化数形结合思想并加深学生对二元一次方程组的理解. 通过新知运用，强化学生对一次函数与二元一次方程组关系的认识，加深学生对这一知识的印象.
4. 课堂小结，梳理知识
在探究问题的基础上，教师先引导学生回顾本节课的研究过程，然后进行课堂小结.
从函数的角度，说一说今天涉及的二元一次方程和二元一次方程组的联系，并且说一说你知道的解二元一次方程组的新方法. 在探究一次函数与二元一次方程以及二元一次方程组关系的过程中，运用了哪些思想方法？
设计意图 总结本节课的数学思想方法，巩固解题思路，主要包括以下内容：第一，总结一次函数与二元一次方程以及二元一次方程组之间的关系;第二，学习用图象法解二元一次方程组;第三，渗透数形结合思想方法. 在教学过程中，教师不止着眼于解决问题，还立足于数学抽象思想方法的渗透，强调引领学生在探究过程中获得结论，用不同的数学语言表达数学概念和原理，梳理知识点之间的关系.
教学反思与体会
数学抽象能力是运用数学思维进行空间和数量的整合加工的能力. 教育心理学家称之为反省抽象，指通过数学语言将数学理论的形成过程进行表述. 数学抽象具有数学学科自身的特点，与其他学科有所区别：第一，数学抽象只存在数量和空间形式间的关系，而把其余的关系都舍去了;第二，数学抽象是逐步提高、层层递进的，数学中形成的抽象程度比其他学科形成的抽象程度要大很多;第三，数学本身就是围绕着抽象的概念、定理、公式以及它们之间的关系而展开的. 学生在学习过程中感到数学难懂，而教师觉得很难激发学生学习的积极性，究其原因就是数学具有高度的抽象性和概括性. 数学教师教学时要从具体的问题出发，引导学生发现数学知识形成的过程，从具象到抽象，实现相互转化，让学生在体验的过程中提高抽象思维能力.
1. 创设情境，培养数学抽象
课程开始，教师通过将复杂的问题进行简约化处理，初步把握事物在数量和图形方面的本质属性，在直观的基础上使复杂的问题呈现出逻辑条理化，培养学生具备初步的抽象能力. 为了直观地呈现事物的要素，教材给出了贴近学生实际生活的情境、符合知识规律的情境以及一般知识产生的情境等，这些情境要素具有感知优势，能够刺激大脑，并与大脑中的其他要素分离，从而将事物的本质特征抽离出来. 本课案例中，将材料呈现给学生形成正向刺激，使学生从中发现和提出问题，并能够分析和解决问题，培养学生的数学抽象思想方法.
2. 建构认知，具备数学抽象
数学学习是从感性认识上升到理性认识的过程，也是从具体内容到符号表达的过程. 教师将具体问题中的部分内容除掉，通过图形、文字、符号等将事物简约地表达出来，使学生开始具备数学抽象思想. 用数学符号表达数学知识是学生抽象思维形成的关键，只有在已有知识的基础上进行新知建构，才能不断完善知识体系，理解数学知识. 从这个意义来说，学生已有的知识基础对于新知的学习具有关键性的作用，因此教师要基于学生已有的知识，从学生的最近发展区开展教学设计. 原有认知结构对新知的学习具有决定性作用，首先是原有认知结构的可利用性，即旧知与新知之间的联系，如果旧知被用来学习新知的利用率低，或者与新知之间的联系较少，那么势必会影响到新知学习，不利于学生对新知的理解. 其次是原有认知结构的稳定性和清晰性，如果原有认知结构不固定或不清晰，那么其难以成为新知学习的着力点，而且在新知学习过程中容易导致新旧知识混淆，难以区分知识点的不同. 以上两個特性说明了实现数学抽象的意义，为了使学生具备数学抽象思想，教学中教师要着力塑造和完善学生的数学认知结构.
3. 概括类比，深化数学抽象
数学抽象由符号阶段进一步推广到一般化的问题和场景中，通过推理、假设等方法建立数学模型，让学生掌握一类问题的特征和解决规律. 教师需要对教学材料进行有意义的加工，使原来抽象的知识在学生心中成为能够看得见摸得着的东西，使学习的价值进一步彰显. 那么如何对抽象的知识进行改造，使抽象的知识变得“实体化”呢？教师可以通过概括和类比的方法，对比同一性质的对象内在的相似性，以及结构上的一致性. 概括类比一般可以通过以下步骤进行：首先根据某一特征将相似的对象集合在一起，确定合适的对象;其次将类比对象的属性列举出来;再次根据列举出的基本属性进行有规律性猜想;最后通过数学知识验证这个猜想. 由此，我们可以看到归纳类比思想在启发学生探索解题过程中具有非常重要的作用，同时也是培养学生数学抽象的重要方法.
综上所述，数学抽象是数学学习和应用数学知识的必备素养. 教学中教师要通过引导学生进行情境探究，探索问题本质，逐步培养学生从具体内容中抽象概括数学知识的能力，助力学生掌握数学本质，提升核心素养.
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