孟凯 刘希东 耿向前 刘豫喜 刘旭贺
在《中国制造2025》提出的战略任务和重点中，大力推动重点领域突破发展，其中一个重要方向是推动机器人技术发展。“十四五”机器人产业发展规划提出，到2035年，我国机器人产业综合实力达到国际领先水平，机器人成为经济发展、人民生活、社会治理的重要组成部分。随着国家大力推进机器人产业的发展，与之对应的机器人产业研发和应用人才的培养却相对滞后。国家在机器人领域专业人才的培养从2015年开始发力，东南大学首个“机器人工程”专业当年获得备案，专业代码080803T，如今备案“机器人工程”专业的本科高校已达322所，包含众多“双一流”高校，又包含眾多应用技术性大学，人才的梯队建设已建立起来，机器人行业人才培养工作稳步推进，人才培养体系日臻完善。新专业的设置，知识体系的构建，在探索中稳步提高。
作为“机器人工程”专业的核心课程《机器人学》的教学普遍存在教学难和学习难的问题。这与知识体系构建、教学方法和手段的应用存在直接的关系，大量的教育工作者对本课程的教学方法和教学手段提出了众多的改进策略，取得了较好的教学效果。在此基础上，若能更加关注该课程知识体系中教学难点的解决和课程体系的衔接，必然取得更加良好的教学效果和促进教学质量的提升。
1.《机器人学》课程特点和知识结构
《机器人学》是“机器人工程”专业的核心课程，是一门知识点高度交叉的课程，在课程体系中具有承上启下的重要地位。其对先导课程的知识灵活运用要求较高，而且还是机器人数字建模、轨迹规划、运动控制、机器视觉控制等核心内容学习的基础。该课程的内容涉及三维空间中的位置与姿态的描述、静态正运动学和逆运动学、速度和静力、加速度和动力学方程、运动轨迹的规划等内容。
2.教学难点
2.1与先导课程的衔接
《机器人学》课程以《线性代数》《MATLAB及应用》《工程力学》（运动学与动力学）、《机械原理》《计算方法》《自动控制原理》等为先修课程，不但要求学生掌握较多的数学和力学知识，并且要求对这些知识理解深刻，融会贯通，学生学习时普遍反映比较吃力。
三维空间中的位置与姿态的描述要求学生掌握空间矢量的表达和计算，矩阵的计算和概念的理解，并且融合了运动学中的绝对运动、相对运动和牵连运动的概念和表达。其中矢量分析的内容虽然包含在了《线性代数》课程中，但是应用时学生普遍感到吃力。经过对比《线性代数》关于矢量的内容和《机器人学》中知识的需求比较，发现两者之间具有较大差异。《线性代数》课程对矢量的教学侧重点在于矢量的运算，而对矢量关于空间变换应用的内容未有涉及，而《机器人学》课程则直接应用矢量对空间进行表达和描述，中间缺乏过渡的情况下，知识跨度大，学生普遍反映用矢量知识解决空间位置和描述的内容无法快速接受。
在《机器人学》连杆速度的传递部分，关于速度的合成问题，尤其是角速度的表达问题，《机器人学》教材推导简单，或者直接给出结论。对于悟性较好的同学，通过自学可以较好地习得这部分内容，而程度一般的同学对这部分学习比较吃力。关于速度合成问题，在《机器人学》和《工程力学》中的表述和推导具有一定的差异。在《机器人学》中速度合成，称为线速度、线加速度、角速度和角加速度，而《工程力学》中称为相对速度、相对加速度、牵连速度和牵连加速度。《机器人学》中采用基于坐标系的矢量变换后矢量分析法进行推导，而《工程力学》中则采用联立方程的形式进行标量分析法进行推演，虽然表达含义相同，表现形式却存在较大差距，给初次接触的学生带来不小的困扰，无所适从。
2.2计算过程烦琐复杂
《机器人学》公式的推导计算量较大，即便是简单的三个旋转矩阵相乘就需要几十次的乘法和加法的运算，用手工计算复杂易出错，且对原理的理解促进意义不大。大多数教材中关于机械臂连杆的例题都是基于两连杆系统平面运动进行分析，更贴近实际需求的>6自由度的机器人连杆系统在实际例题的分析中很少见，通常无法讲解清楚。
学生在学习中往往把精力放在了数值计算上，本末倒置现象严重。非数学专业的学生学习《机器人学》，对数学工具的了解和使用知之甚少，加大了学生的学习难度。
2.3理论性强，理论实践结合不紧密
传统的《机器人学》的学习主要是以教师课堂讲解和学生课下习题练习为主，由于该课程的理论性强，强调严谨的数理推导和控制算法的应用。《机器人学》所需求的数学、力学等知识点都是理论性较强的内容，同时也是本课程乃至整个专业的重点，在课程教学过程中一定要抓住重点，打牢基础。授课时还要注意和实践相结合，多举实例，让学生明白夯实理论基础在机器人学学习中的重要性。大多数学生难以理解这些复杂的推导究竟对实际的工程有何种用处和意义，即便是掌握了一定的理论分析方法，也不能熟练地应用到具体的实践，从而导致畏难情绪较大，学习内驱力不足。
3.应对策略
3.1难点内容的处理方法
（1）“矩阵计算”与“空间变换”的关系
“矩阵计算”是利用空间来投射和表征数据的基本工具，让研究人员更为直观、准确地探查到数据的主要特征和维度信息。因此，其基础核心地位不言而喻，他是“空间变换”学习的攀登阶梯。《线性代数》关于“矩阵计算”的本质在空间描述上的应用，可方便用于矢量的观点解释“空间变换”。强调向量是原点作为起点的空间中“箭头”，用列表的形式表示空间向量。“矩阵”是线性变换后的基的数值，“矩阵的列”是变换后的基向量。基向量是向量空间上各个维度正方向上，线性无关的，长度为1的单位向量，空间的维度决定了基向量的个数。重点解释空间描述向量的加法和数乘的定义。空间描述下，“矩阵”与“向量”相乘表示“线性变换”作用于这个向量；
“矩阵”与“矩阵”相乘就是两个“线性变换”的依次作用。用质点运动的观点解释空间向量。介绍矩阵乘法与复合线性变换之间的联系，用矢量积解释空间平面四边形的面积、平行六面体的体积和力矩的表示，明确空间描述下“行列式”的含义。二维空间下“行列式”表示线性变换改变面积的比例；
三维空间下“行列式”的值为平行六面体的体积。“特征值”是特征向量在变换后被缩放或拉伸的比例。
通过这些空间基本概念和方法基于矩阵的表示，建立起新知识点与先导课课程的知识点的过渡，缓解学生对新知识点的陌生感，降低《机器人学》学习入门的门槛，增加学生的学习兴趣，促进学生知识迁移能力的培养。
（2）从《工程力学》中“运动的合成”迁移学习《机器人学》的“位姿变换”
在日常教学过程中穿插《线性代数》《工程力学》等基础学科的复习和补缺，使学生从宏观上理解整个课程体系中每门课程之间的内在关联。《工程力学》中“运动的合成”与《机器人学》中的“位姿变换”的知识点本质上是一致的，但是《工程力学》的内容推导是基于标量分析的联立方程的推导，内容详尽，而《机器人学》的“位姿变换”主要是基于矢量分析的矩阵描述，直接给出矢量基于坐標系的表达。在教学中，先回顾《工程力学》中的标量分析的推导过程，然后把标量分析与矢量分析过程对比陈列，从而得出“位姿变换”的矢量表达，教学效果明显优于直接讲解基于矢量分析的“位姿变换”。
（3）从《工程力学》中“速度和加速度的合成”迁移学习《机器人学》“速度和加速度的变换”
《工程力学》和《机器人学》关于“速度和加速度”的关系类似于“运动的合成”和“位姿变换”的关系，本质是相同的，描述和表达的角度不同，从而也可以利用迁移学习的方法快速掌握。“速度和加速度”的本质都是矢量的微商，《工程力学》中只做出了两个坐标系之间的速度和加速度变换的描述，而《机器人学》中的“速度和加速度”的描述是多个坐标系的链式描述。在《工程力学》中“速度和加速度”的描述基础上，通过表达形式从标量分析迁移为基于坐标系的矢量分析，便得到《机器人学》中关于“速度和加速度”的描述，再利用矢量的叠加定理得出《机器人学》中链式坐标系下“速度和加速度”的描述。
（4）“有限（角）转动”和“角速度”的概念问题
大部分的《机器人学》的教材遇到“有限（角）转动”问题时，通常利用沿三个轴线的依次转动，旋转矩阵的连乘不满足交换律简单地进行解释，从教学实践来看，学生遇到这部分内容时总是发生困惑，很难充分理解。因为当转角较大时，旋转矩阵确实不满足交换律，但是当每次旋转角度较小的时候，旋转矩阵的连乘又基本符合交换律。这里学生往往认为角速度是矢量，那么转角也应该是矢量，必然旋转矩阵满足交换律，结果恰恰相反。在这里需要明确一个概念，并非一切具有数值和方向的量都必定是矢量。尽管“有限（角）转动”有数值和方向，但是它们却不能用矢量来表示，不是矢量。虽然“有限（角）转动”不是矢量，但是可以证明“有限（角）转动”的时间变化率（即角速度）可以用矢量表示，其方向为转轴方向，其大小为“有限（角）转动”的变化率（即有限（角）转动的导数）。
3.2数学工具软件辅助计算推导
《机器人学》课程的习题中涉及大量的矩阵运算和推导，手工推导不仅费时费力，而且易出现计算错误。数学工具在机器人学的应用已经较为深入，MATLAB软件已广泛地应用于《机器人学》的学习当中，不但在数值计算上有较大优势，在机器人的控制理论研究上利用其Simulink模块也较为方便。尤其是基于MATLAB开发的机器人工具箱（Robotics Toolbox）软件，提供不仅包含常用的位姿表示，正、逆运动学的求解，动力学，轨迹规划等函数，能够用“标准的D-H法”或“修正D-H法”对任意连杆结构的机器人进行空间上的描述，还能进行三维空间的运动仿真，计算正逆动力学（逆动力学采用递归牛顿欧拉法，效率高），分析机器人受控状态下的参数输出。系统自带的PUMA560和standFord类型的机器人模型，为相关控制算例的学习和讲解带来了巨大便利性。机器人工具箱软件在《机器人学》的教学、学习、计算的验证和公式推导上具有较大优势，深受广大教师和学生的拥护。
所有可能的刚体的运动都是李群及其子群的典型范例，《机器人学》研究的三维空间的刚体运动的映射集合构成一个六维李群SE（3），平面刚体的变换又涉及李群SE（2）。大部分开设“机器人工程”专业的高校开设《李群李代数》课程的极少，大多数学生对此都不甚熟悉。而在MATLAB机器人工具箱的使用中大量的变量定义涉及李群概念的理解，学生在工具箱的使用中遇到不小的困惑。而单独开设《李群李代数》课程客观条件又不允许。教学实践中，根据机器人工具箱所涉及的李群概念进行扼要的讲解和常用符号的必要解释，基本能够满足机器人工具箱的正常使用。
3.3教学过程引入项目驱动
项目式教学具有知识讲解式教学所不具备的优势，在培养学生分析问题、解决问题能力的同时促进自主学习意识，促使学生的学习状态由“要我学”到“我要学”的转变。项目式教学融合理论分析、数值实验、仿真分析等多种方法，使得抽象的概念具象化，对创新性人才和应用型人才的培养都具有重要意义。教学中，项目设置为“双臂机器人运动轨迹规划与协调控制”，内容涵盖了整个机器人学的全部知识点。每个知识点学习完毕便可根据知识点的内容完善项目对应的内容。由于每次的学习都只能完成项目的局部内容，在好奇心的驱使下，学生提前学习、自主学习的意识得到加强。由于知识点的连续性，又促进了学生对已学知识点的自觉回顾复习，加深了知识点的熟练程度。
《机器人学》教学难点在于知识点与多门学科相关，计算推导复杂，理论性强，本文针对教学难点探索出了基于知识迁移的教学方法，利用熟悉知识点达到以旧知新；
通过数学工具的引入，烦琐的理论计算过程得到有效缓解，学生可以把主要精力用于基本原理的理解；
项目驱动模式的建立调动学生内驱力，提升了主动学习的积极性。相关的教学方法和应对策略及经验也值得其他的课程改革和创新进行借鉴。
（孟凯，博士，讲师，主要从事仿生机器人和减振降噪研究。）
猜你喜欢机器人学工程力学矢量矢量三角形法的应用中学生数理化·高一版(2021年11期)2021-09-05《工程力学》微课教学模式探索课程教育研究(2021年21期)2021-04-14机器人学的教育应用及展望中国教育信息化(2018年23期)2019-01-02基于矢量最优估计的稳健测向方法现代防御技术(2016年1期)2016-06-01三角形法则在动态平衡问题中的应用新高考·高一物理(2016年1期)2016-03-05工程力学中国学术期刊文摘(2015年13期)2015-10-31影响深远的机器人学佳作——蔡自兴教授的机器人学著作述评机器人技术与应用(2015年6期)2015-04-18夯实机器人发展基础全方位培养高素质机器人学人才机器人技术与应用(2015年2期)2015-04-16虚拟仿真技术在复杂工程力学问题实验教学中的应用实验技术与管理(2014年9期)2014-03-11大学物理和工程力学在机构运动分析中的应用物理与工程(2014年5期)2014-02-27