刘将, 王生海, 李建, 何云鹏, 孙玉清, 陈海泉
(大连海事大学轮机工程学院, 大连 116026)
20世纪80年代,绳驱动并联机器人问世,近几十年国内外学者不断对其研究,与传统的并联机器人相比,其具有质量轻、易重构等诸多优点[1-2]。目前绳驱动并联机器人广泛应用于天文观测[3]、康复训练[4]、风洞实验[5]等诸多领域。起重机作为吊装领域的重要设备,但其重量较大,载荷复杂[6-7]。将绳驱动并联机器人用于吊装领域,吊装机器人与起重机相比,具有布置灵活,工作空间大等优点。20世纪80年代末,美国国家标准与技术研究院(National Institute of Standards and Technology,NIST)研制了RoboCrane起重机器人,并进行了吊装、喷涂、搭建等作业;美国August Design公司研制了SkyCam摄像机器人,它的最高速度高达13 m/s,广泛用于高速摄影。由于绳索具有单向受力的特性,吊装机器人必须采用冗余驱动[8-9]。对于冗余约束绳驱动并联机器人,绳索张力不唯一[10]。
为了吊装机器人的安全平稳运行,优化后的绳索张力需光滑连续变化。Li等[11]采用二次规划方法求解不完全约束绳驱动并联机器人的绳索张力。刘嘉韧[12]提出采用力优化迭代算法求解绳索张力,该算法可在一定程度上改善系统刚度,但是迭代次数过多会影响系统性能。何俊波[13]将最小p范数法作为优化目标,求解出绳索张力优化解,但当p值过大时,张力求解算法无法正常使用。现提出改进二次规划方法,分别运用张紧力方法、非线性规划方法和改进二次规划方法求解绳索张力优化解,根据仿真结果确定出最佳的张力优化算法。
关于工作空间的求解,国外研究学者分别提出半代数集合法和空间几何法,用于判断力封闭性,但上述方法计算复杂。为此,通过最佳的张力优化算法求出吊装机器人的绳索张力优化解,在此基础上判断是否满足张力限制条件和秩判断条件,进而得到吊装机器人的力可达工作空间。
改进一种绳驱动并联机器人,并将其应用于吊装领域,该吊装机器人由八根绳索驱动,在满足其布线特点下,能避免绳索间的干涉,且能实现空间三自由度平动。针对该吊装机器人而言,绳索数远大于自由度数,该构型属于冗余约束类型。
为开展吊装作业,吊装机器人在工作空间内不能有奇异位形,否则奇异位形会影响机器人的工作空间。针对这一问题,采用冗余驱动的方式,不仅能避免吊装机器人出现奇异位形,还能保障吊装作业的安全性。然而,冗余驱动也会引入新问题,由于绳索数量的增多,容易导致绳索的互相干涉。
针对冗余驱动可能引入的问题,可通过恰当地布置绳索位置予以避免。如图1所示为绳驱动并联吊装机器人的模型图,该机器人绳索布置特点如下:八根绳索分为四组,同一组的两根绳索平行,组内两根绳索出绳点间的距离等于与动平台铰接点间的距离。吊装机器人在满足该绳索布置特点时,能在运动过程中避免绳索间的干涉;由于组内两根绳索的长度变化相同,两根绳索可由同一驱动装置来驱动,从而减少了驱动装置的数量。
图1 吊装机器人的模型图Fig.1 Model diagram of hoisting robot
1.1 运动学模型
如图2所示为吊装机器人的运动学图解,图3为运动学图解的俯视图。点C11、C12、C21、C22、C31、C32、C41、C42为吊装机器人的八个出绳点,点P11、P12、P21、P22、P31、P32、P41、P42为绳索与动平台的铰接点。固定框架长:D2D3=1.2 m,宽:D2D1=1 m,高为1 m。动平台的上顶面为边长0.2 m的正方形,动平台高0.05 m,八根绳索P11C11、P12C12、P21C21、P22C22、P31C31、P32C32、P41C41、P42C42由电机通过卷筒牵引。
图2 运动学图解Fig.2 Kinematics illustration
图3 俯视图Fig.3 Top view
设固定坐标系{O}的原点O与点D2重合,各个坐标轴方向如图2所示;局部坐标系{P}的原点与动平台的质心P点重合,各个坐标轴方向如图2、图3所示。
1.1.1 虚拟绳索
1.1.2 运动学逆解
已知P点在{O}中的位置向量P=(x,y,z)T,求绳长Li(i=1,2,3,4),即为吊装机器人的运动学逆解。
i=1,2,3,4
(1)
已知动平台P点坐标时的绳索长度可由式(1)通过MATLAB进行计算,计算结果如表1所示, 这里的n表示第n次计算。
表1 运动学逆解仿真结果Table 1 Kinematic inverse solution simulation results
1.1.3 运动学正解
已知绳长Li(i=1,2,3,4),求P点在{O}中的位置向量P=(x,y,z)T,即为吊装机器人的运动学正解。
(2)
(3)
(4)
通过式(3)-式(2),式(4)-式(2)进一步化简
X21x+Y21y+Z21z=A21
(5)
X31x+Y31y+Z31z=A31
(6)
x=B0+B1z
(7)
y=B2+B3z
(8)
式(7)和式(8)中:B0=(A21Y31-A31Y21)/D,B1=(Y21Z31-Y31Z21)/D,B2=(A31X21-A21X31)/D,B3=(X31Z21-X21Z31)/D,D=X21Y31-Y21X31;将式(7)和式(8)代入式(2),得
Ez2+2Fz+G=0
(9)
(10)
根据框架的尺寸选取合适的z值,将其代入式(7)和式(8)进而求得x、y的值。
通过上述三球交点算法可以求出P点在{O1}中的位置向量P=(x,y,z)T,{O1}中的x对应{O}中的z,{O1}中的y对应{O}中的x,{O1}中的z对应{O}中的y,最终可得到P点在{O}中的位置向量P=(x,y,z)T。
已知三根绳长可由三球交点算法通过MATLAB计算动平台P点的坐标,计算结果如表2所示,这里的n表示第n次计算,仿真结果验证了所建立运动学模型的准确性。
表2 运动学正解仿真结果Table 2 Kinematics positive solution simulation results
1.2 动力学分析
动平台P点所受的外力旋量W1=-[FRMR]T(其中FR、MR分别为外力和外力矩);张力大小为ti(i=1,2,…,m),张力矢量为ti,且ti=tiUi,Ui为单位向量,其方向与绳索张力方向相同。动平台的静力学平衡方程为
(11)
将式(11)整理成矩阵形式为
JT=W1
(12)
(13)
将式(13)写成矩阵形式为
JT=W2
(14)
2.1 张紧力方法
针对该吊装机器人,绳索张力的求解为超静定问题,故绳索张力解包括张力特解和张力通解,即
T=Ts+Th
(15)
式(15)中:Ts为张力特解,Ts=J+W2,其中J+是J的伪逆;Th为张力通解。
国外研究学者通过调节绳索张紧力,从而获得优化的Th,优化的Th为
Th=(E-J+J)Tdes
(16)
式(16)中:Tdes为张紧力预设值,主要与张力上下限变化和工作空间性能要求有关;E为8阶单位矩阵。
因此由式(15)可得
T=Ts+Th=J+W2+(E-J+J)Tdes
(17)
2.2 非线性规划方法
(18)
2.3 改进二次规划方法
对于绳驱动并联吊装机器人,绳索张力需要满足动力学平衡方程,且在机器人运动过程中,每根绳索张力需介于下限和上限之间。因为冗余约束绳驱动并联吊装机器人要求动平台平稳运动,所以当动平台沿预设轨迹运动时,要求绳索张力值连续变化。基于力封闭的思想,通过引入一个调节力tf,改进传统的二次规划优化算法,该机器人的绳索张力求解为改进二次规划问题,改进二次规划的优化模型为
(19)
tf=k(tmin+tmax)
(20)
式(20)中:k为调节因子。
调节力tf的大小主要与张力下限、张力上限和调节因子有关。
改进二次规划优化算法相比于传统二次规划优化算法,通过引入tf实现绳驱动并联吊装机器人在整个工作空间内,绳索张力优化解在张力上下限之间,确保了吊装机器人的安全运行。
针对绳驱动并联吊装机器人,当绳索张力满足张力条件时,动平台在系统框架中所能到达的区域,即为吊装机器人的力可达工作空间。根据动平台所受的静力学平衡方程,以及绳索张力需介于下限和上限之间,此时绳索的张力条件描述为
JT=W1,Tmin≤T≤Tmax
(21)
对于该吊装机器人,动平台的某个位姿属于力可达工作空间,还需满足秩判断条件,此时秩判断条件描述为
rank(J)=n
(22)
式(22)中:rank(J)表示力雅可比矩阵J的秩。
综上所述,求解吊装机器人力可达工作空间的步骤如下。
(1)以一定的步长,将框架尺寸离散化,形成离散的位姿点。
(2)依次取每个位姿点的位置坐标,求出位姿点对应J的秩,再通过最佳张力优化算法求出绳索张力优化解,验证是否同时满足式(21)和式(22)。若同时满足,则此位姿点属于力可达工作空间;否则,舍弃此位姿点。
(3)计算完所有位姿点,得到所有满足条件的位姿点构成的集合,即为所求的力可达工作空间。
图4为P点沿一条空间螺旋曲线的运动轨迹1。
图4 空间螺旋曲线的轨迹图Fig.4 Trajectory diagram of the space helical curve
图4中P点的运动轨迹1满足方程
(23)
图5表示P点在{O}中的位置变化曲线,图中以o标记的曲线表示P点沿轨迹1运动时P点到原点的距离随时间的变化,另外三条曲线表示P点在三个坐标轴的位置随时间的变化。
图5 点P位置变化Fig.5 Change of the position of point P
图6表示P点沿轨迹1运动时,四根绳索的长度随时间的变化。由图6可知,绳索长度的变化都是连续的,表明吊装机器人可在工作中平稳运行。
图6 各根绳索的长度变化Fig.6 Length variation of each cable
图7表示P点沿轨迹1运动时,绳速随时间的变化。由图7可知,以第三根绳索为例,在0～0.6 s和2.2～4.1 s这两个时间段内,绳速为正,对应的绳长增大;在0.6～2.2 s和4.1～6.2 s这两个时间段内,绳速为负,对应的绳长减小。
图7 各根绳索的绳速变化Fig.7 Cable speed change for each cable
为简化分析和计算,可假设P点沿轨迹1运动时,动平台只受重力及质心加速度这两方面因素的影响,即W2只考虑重力G和Fe这两项,动平台质量m=1.5 kg,G=14.7 N,绳索的最小张力和最大张力分别为tmin=0.1 N,tmax=20 N。
分别用式(17)～式(19)所示的方法,通过MATLAB仿真,求得P点沿轨迹1运动时的绳索张力变化曲线,如图8～图10所示。
图8 张紧力方法Fig.8 Tension force method
图8为采用张紧力方法求解绳索张力,P点沿轨迹1运动,当动平台运动到工作空间边缘时,所求解出的部分张力值小于0,表明在动平台运动过程中,绳索发生虚牵,对吊装机器人的安全运行产生了影响。
图9为采用非线性规划方法求解绳索张力,张力曲线不光滑,在动平台运动过程中,存在张力突变的现象,影响机器人的平稳运行。
图9 非线性规划方法Fig.9 Nonlinear programming method
图10为采用改进二次规划方法求解绳索张力,改进二次规划方法则克服了前两个优化算法的缺陷,它所求出的张力优化解始终处于0.1～20 N的可行张力值范围内,绳索张力值随时间连续变化,从而保证在动平台运动过程中,不会出现绳索虚牵现象,且能实现绳索张力变化的连续性。
图10 改进二次规划方法Fig.10 Improved quadratic programming method
当吊装机器人沿圆形轨迹运动时,图11为P点的运动轨迹2。
图11 圆形曲线的轨迹图Fig.11 Trajectory diagram of a circular curve
图11中P点的运动轨迹2满足方程
(24)
当P点沿轨迹2运动时,通过绳索特解项求得未优化的绳索张力,如图12所示。
图12 未优化的绳索张力Fig.12 Unoptimized cable tension
在图12中,当P点沿轨迹2运动时,存在部分张力值小于0的情况,不满足绳索单向受力的条件,故需对绳索张力进行优化,采用改进二次规划方法优化绳索张力,如图13所示。
图13 优化的绳索张力Fig.13 Optimized cable tension
由图12～图13可知,通过绳索张力优化前后的对比,改进二次规划求得的绳索张力优化解介于张力上下限之间,张力优化解随时间连续变化,实现了绳索张力变化的连续性,确保了吊装机器人的安全平稳运行,验证了改进二次规划优化算法求解吊装机器人绳索张力的合理性。
通过三种绳索张力优化算法的对比,改进二次规划求解绳索张力的效果最佳,表明改进二次规划方法求解吊装机器人绳索张力的连续性。
采用改进二次规划方法求解绳索张力,验证是否同时满足式(21)和式(22)这两个条件,由MATLAB计算的力可达工作空间如图14所示。
图14 力可达工作空间Fig.14 Wrench Feasible Workspace
图14为吊装机器人的力可达工作空间,力可达工作空间呈方形,力可达工作空间与系统框架之间构成四个夹角区域,夹角区域方便吊装机器人的安装与拆卸;力可达工作空间主要位于系统框架的中心区域,其高度接近系统框架的高度,表明该吊装机器人符合吊装工作要求。
对吊装机器人进行研究,得到以下结论。
(1)提出三球交点算法,将运动学正解、逆解仿真结果进行对比,表明三球交点算法求解运动学正解的准确性。
(2)提出改进二次规划方法,仿真结果表明,改进二次规划方法求解张力的效果最佳,它所求的绳索张力在张力上下限之间光滑连续变化,表明改进二次规划方法求解绳索张力的连续性和合理性。
(3)在张力优化解的基础上求解吊装机器人的力可达工作空间,仿真结果分析,力可达工作空间主要位于系统框架的中心区域,其高度接近框架的高度,表明该吊装机器人符合吊装工作要求。
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