徐 磊 姜 磊 王绍洲 任青文
(1河海大学水利水电学院,南京 210098) (2中国电建集团昆明勘测设计研究院有限公司,昆明 650051)
混凝土损伤开裂是一种典型的跨尺度现象.宏观裂缝的形成源于细观裂纹的萌生、扩展、集聚和贯通[1],而混凝土在细观尺度上复杂的随机非均匀材料结构以及各细观组分 (粗骨料、砂浆及界面过渡区) 差异明显的力学特性是这一现象的主要致因[2-3].因此,在单一宏观尺度下无法准确模拟混凝土损伤开裂的跨尺度演化过程[4].
计算多尺度方法是在分析中考虑2种或2种以上空间尺度,并以相对较低的计算代价获取较高精度分析结果的复合材料现代计算分析方法[5],主要分为协同多尺度方法[6-8]和递进多尺度方法[9-10]两类.协同多尺度方法可在同一计算模型中实现对弹性区域的宏观尺度模拟和对损伤开裂区域的细观尺度模拟,但需在模拟中动态调整宏-细观尺度连接边界,且随着细观模拟区域的扩大,计算规模快速增大[5].传统递进多尺度方法是通过求解由宏观力学量 (通常为应变) 驱动的细观代表性体积单元 (representative volume element,RVE) 边值问题,来为宏观尺度分析提供所需的本构关系,局部化 (降尺度) 和均匀化 (升尺度) 是其尺度连接的2个主要环节[9].递进多尺度方法的宏观分析与细观分析是在信息传递的基础上分开进行的,故相较于协同多尺度方法,对计算资源的要求相对较低,且便于在常规有限元分析框架内实现[11].
存在RVE是应用传统递进多尺度方法的前提[12].由于非软化复合材料满足RVE存在性,故针对该类材料的递进多尺度有限元分析已渐趋成熟并得以应用[10].但对于软化类材料,均匀化获取的宏观应力-应变关系在软化阶段依赖于细观模型尺寸,故不满足RVE存在性假定,致使无法直接应用传统递进多尺度方法.针对这一问题,Gitman等[13]分析了软化材料递进多尺度有限元模拟中宏观单元网格尺寸与细观RVE尺寸对计算结果的影响,并将细观模型体积取为宏观单元积分点的积分体积,以消除分析结果的宏观单元网格尺寸依赖性和细观模型尺寸依赖性.这一方法突破了传统递进多尺度方法的RVE存在性假定,但变尺寸的细观模型增加了数值实施的难度,且若对分析域内的宏观积分点均开展宏细观递进多尺度分析,细观计算规模很大 (与全细观模拟相当).Rezakhani等[11]基于耦合体积思想,以有限元模型为宏观尺度模型,以格构离散元模型为细观尺度模型,实现了混凝土损伤断裂的耦合体积宏细观递进多尺度分析,但分析中采用了均匀宏观网格,以规避细观模型的变尺寸问题.此外,鉴于尺度连接方式的特点,在宏细观递进多尺度分析的传统框架内,仅能在宏观尺度上获取基本的力学量 (位移、应变及应力),无法实现混凝土损伤状态的宏细观跨尺度表征.
本文提出了一种混凝土跨尺度损伤开裂自适应宏细观递进有限元分析方法.该方法将混凝土自适应宏细观递进有限元模型划分为单一宏观尺度和宏细观多尺度2个分析区域.提出了基于Ottosen强度准则[14]的分析尺度自适应转换准则,实现了宏细观多尺度分析区域范围的自适应动态更新.通过在分析中自适应建立与宏观积分点关联的细观模型,实现了变尺寸细观模型条件下宏细观递进有限元分析.提出了细观损伤的分区均匀化方法,对混凝土损伤状态的宏细观跨尺度进行定量表征.
1.1 自适应宏细观递进有限元模型
如图1所示,混凝土宏细观递进有限元模型被自适应划分为2个分析区域,即单一宏观尺度分析区域 (弹性区) 和宏细观多尺度分析区域 (损伤开裂区).在单一宏观尺度分析区域内,混凝土被视为均匀材料,采用线弹性本构模型描述其力学行为.在宏细观多尺度分析区域内,混凝土被视为宏观均匀但细观非均匀的非线性多尺度材料,该区域内任一宏观积分点均与一个细观模型关联.
宏细观递进有限元模型由一个覆盖全部分析区域的宏观模型和与损伤开裂区内宏观积分点关联的若干细观模型组成.其中,宏观模型的网格剖分、荷载和边界条件施加与单一宏观尺度有限元模型相同,但在宏观有限元分析中,损伤开裂区内任一宏观积分点的应力和本构矩阵是通过均匀化确定的.各细观模型相互独立,网格剖分与宏观模型无关,且细观各相有确定的本构模型,但在细观有限元分析中,细观模型边界条件是通过局部化确定的.基于耦合体积思想[13],将细观模型尺寸lm视为与之关联的宏观积分点积分面积SIP或体积VIP的函数.细观模型形状取为正方形时,lm的计算表达式为
(1)
细观模型形状取为正方体,lm的计算表达式为
(2)
混凝土自适应宏细观递进有限元模型具有以下特点:① 模型由单一宏观尺度分析区域和宏细观多尺度分析区域2部分构成;② 宏细观多尺度分析区域需在分析中基于分析尺度转换准则自适应确定并动态更新;③ 与不同宏观积分点关联的细观模型是在分析中自适应生成的,尺寸可变化且具有随机的细观结构;④ 宏观模型与细观模型均为有限元模型.
1.2 宏-细观尺度连接
在宏-细观尺度连接中,局部化需将宏观积分点应变转化为与之关联的细观模型的位移边界条件,而均匀化需将细观模型的应力场与刚度矩阵均匀化为与之关联的宏观积分点应力与本构矩阵.
(3)
(4)
(5)
根据散度定理,式(4)和(5)分别可变为
(6)
(7)
式中,S为细观模型边界的积分变量;t、x、u、n分别为细观模型边界上各点处的应力、位置向量、位移及方向余弦.
将式(6)和(7)代入式(3),可得
(8)
满足式(8)的细观模型边界条件包括均匀应力边界条件、线性位移边界条件和周期性边界条件3种[16].考虑到相对于均匀应力和线性位移边界条件,周期性边界条件可取得更为精确的宏观均匀化解[17],故本文在局部化中采用周期性边界条件.
(9)
(10)
为便于建立满足式(10)形式约束条件的细观模型周期性边界条件,依据细观模型边界的空间位置,将其分为一一对应的正边界和负边界2个部分,并通过细观有限元网格剖分在对应边界上,形成一系列节点对.
为满足式(5),令
(11)
式中,x+和x-分别表示正边界和负边界对应节点的位置向量.
由式(9)和(11)可得
(12)
由细观平衡条件可得
t(x+)+t(x-)=0
(13)
(14)
式中,xA为细观模型角点的位置向量.
为实现宏-细观尺度连接,在细观分析完成后,通过均匀化确定宏观积分点的应力和本构矩阵.其中,宏观均匀化应力可依据式(4)确定.为求解宏观积分点的均匀化本构矩阵,将细观有限元增量平衡方程记为
(15)
式中,KNN、KNA、KAN、KAA为细观模型整体刚度列阵的4个分区;δuA、δuN分别为细观模型角点处节点和非角点处节点的增量位移列阵;δfA为细观模型角点处节点的增量反力列阵.
由式(15)可得
(16)
(17)
基于式(6)、(14)、(17),可得
(18)
由式(18)可得均匀化本构矩阵DM中第i行第j列元素为
(19)
1.3 分析尺度自适应转换
在实际混凝土结构中,一般仅有范围较小的局部区域会出现损伤开裂现象,而其他大部分区域则始终处于弹性阶段[20-22].因此,为在保证分析精度的前提下提高分析效率,应在分析过程中依据模型的受力状态,自适应确定宏细观多尺度分析区域范围,并动态更新,这一过程即为分析尺度的自适应转换.
基于Ottosen强度准则[14],提出以宏观积分点应力为指标的混凝土分析尺度自适应转换准则为
(20)
(21)
式中
基于Kupfer等[24]的试验结果,C1、C2、C3和K的计算公式为[25]
(22)
式中,λ=ft/fc,其中fc和ft分别为混凝土单轴抗压强度和抗拉强度.
1.4 细观模型的自适应建立
由于宏细观多尺度分析区域的范围是动态变化的,且不同宏观积分点通常具有不同的积分范围,故细观模型的建立是一个自适应过程.为建立与某一宏观积分点关联的细观模型,首先需获取该积分点的积分面积或体积,进而确定细观模型尺寸lm.在此基础上,依据混凝土骨料体积分数Va、粒径、级配等控制参数及其形状,生成混凝土细观模型的随机材料结构,并在剖分网格、定义细观各相力学特性和施加周期性边界约束条件的基础上建立细观模型.
本文以随机取放法[26]作为细观随机材料结构的生成方法,以ABAQUS前处理模块[27]作为细观结构网格剖分的基本工具,以多点位移约束方程[19]作为细观周期性边界约束条件的施加手段,通过MATLAB和PYTHON混合编程编制了混凝土细观自适应二维建模程序AGCMM.该程序可在获取宏观积分点的积分面积、细观结构控制参数以及细观各相力学参数的基础上,自动完成细观模型尺寸计算、圆形或多边形骨料细观结构随机生成、三相(骨料、砂浆及界面过渡区)细观网格剖分(见图2)、细观各相力学参数定义以及细观周期性边界约束条件施加,从而建立与该积分点关联的细观模型.在所建立的细观模型中,以三节点单元模拟骨料与砂浆,以四节点薄层单元模拟界面过渡区.
图2 细观有限元网格剖分实例
混凝土损伤开裂通常是在界面过渡区中萌生并向砂浆中扩展,而(硬)骨料一般不会发生破坏[28-29].因此,在细观模型中,将骨料视为线弹性材料,将砂浆与界面过渡区(ITZ)视为准脆性材料,采用塑性损伤模型(CDP模型)[30]描述两者的力学行为.
为实现混凝土损伤演化的宏细观跨尺度分析,基于混凝土细观损伤分布的局部化特征,提出了一种用于表征宏观损伤的分区均匀化方法.
在混凝土应力达到峰值后的损伤开裂软化阶段,随着应力的减小,非弹性应变逐渐集中于局部区域 (损伤开裂区) ,其他区域的弹性应变则逐渐减小[31],这一过程称为应变局部化.文献[32]指出,混凝土在开裂软化阶段的损伤演化与应变局部化直接相关,主要表现为在应变局部化过程中,开裂区的损伤程度不断增加,而在应力达到峰值前产生的弥散于其他区域的损伤则基本保持状态不变.因此,通过对细观模型全域应用体积平均原理已不适于建立细观损伤与宏观损伤之间的关系.
为在混凝土损伤开裂软化阶段实现基于细观模型损伤计算结果的宏观损伤表征,根据细观分析所得的损伤状态,将细观模型区域Ω划分为损伤加载区Ωd(损伤变量处于增大状态的区域)和非损伤加载区Ωnd(损伤变量为0或保持不变的区域).在区域划分的基础上,对细观模型中的损伤加载区应用体积平均原理,实现基于细观损伤状态的宏观损伤表征,即
(23)
式中,D为宏观积分点的损伤变量;d为细观损伤变量;di为细观模型中损伤加载区内第i个积分点的损伤变量;Ωd,i为损伤加载区内第i个积分点的积分范围.由于D是通过对损伤加载区内细观非均匀损伤场进行均匀化所得,故可综合体现处于不同损伤状态下细观各相对宏观损伤的影响,具有较为明确的力学意义.
由于式(23)中仅考虑了损伤加载区,未计算应变局部化过程中保持损伤状态不变的区域,故由其所得的宏观损伤量与混凝土真实损伤状态间会存在一定差异.但由于混凝土为准脆性材料,其宏观力学性能的受损劣化主要发生在应力达到峰值后的应变局部化过程中[33-34],因此,按照式(23)计算所得的宏观损伤量可描述混凝土在损伤开裂软化阶段的受损状态.
在混凝土自适应宏细观递进有限元模型中,宏观模型在不同分析尺度下的应力-应变关系均为局部形式,便于与已有的材料非线性有限元分析程序相结合.
基于ABAQUS用户材料子程序接口UMAT[35],通过编制用于获取宏观均匀化应力与本构矩阵的程序HSCM以及用于定量表征宏观损伤的程序MD,并结合细观自适应建模程序AGCMM,对所提出的混凝土跨尺度损伤开裂自适应宏细观递进有限元分析方法进行了数值实现.
UMAT在从ABAQUS主程序获取相关数据后,通过所编制的接口程序并调用HSCM和AGCMM等程序,完成宏观积分点应力与本构矩阵的更新,并可自定义状态变量用于存储分析尺度、宏观损伤等相关信息[36].ABAQUS主程序对上述UMAT子程序的调用是在积分点的层次上进行的,即在宏观分析的每次整体平衡迭代过程中遍历所有宏观积分点,逐一完成每个宏观积分点的应力、本构矩阵与状态变量更新.分析尺度状态变量用于存储宏观积分点当前的分析尺度信息,取值为0(初始值)表示单一宏观尺度,取值为1表示宏细观多尺度.宏观损伤状态变量初始值为0,且保持该值至进入损伤开裂软化阶段.
算例1为四节点正方形单元(CPS4R)单轴拉伸过程模拟(见图3),位移荷载(u=24 μm)分为100个增量步逐级施加.由于该单元仅有一个积分点,故与之关联的细观模型尺寸与其尺寸相同,骨料粒径范围和质量分数分别为5～8 mm和50%,ITZ厚度取为100 μm[37].表1列出了细观各相的材料参数.其中,骨料弹性模量取为50 GPa,与玄武岩骨料的试验结果[38]相当;砂浆的弹性模量、单轴抗压和抗拉强度分别取为2.5×104、26和2.5 MPa,与文献[39-41]中的取值接近;ITZ的力学性能弱于砂浆,由于其力学参数难以通过试验手段测得,通常假定其参数取值为砂浆的0.5～0.9倍[1,21,32],本文取为0.8倍.为讨论混凝土细观结构随机性对其宏观力学行为的影响,算例1重复进行了3次自适应宏细观递进有限元分析(AHS).由于细观模型是在分析中自适应生成的,故在3次分析中,生成的细观模型A、B、C具有相异的几何结构.
(a) 宏观单元
表1 细观材料参数
为获取单一宏观尺度分析所需的线弹性本构参数,针对图3中的细观模型A开展了单轴拉伸全细观数值模拟(DNS);并基于数值模拟所得的宏观均匀化应力-应变曲线,取应力为0～0.4ft(ft=2.12 MPa) 的割线弹性模量33.19 GPa作为宏观弹性模量[42],泊松比取为0.2.此外,通过开展细观模型A的单轴压缩数值试验,确定单轴抗压强度fc为23.32 MPa,进而基于式(22)确定C1、C2、C3和K的取值,分别为0.280 6、0.374 8、0.002 9和0.997;应力放大系数w取为1.05.
图4给出了对应于细观模型A的自适应宏细观递进有限元分析宏观应力-位移曲线.图中,宏观应力为位移加载边界上各节点水平反力之和与其长度的比值;位移为施加在位移加载边界上的节点水平位移;点Ⅰ～Ⅳ为曲线软化段上处于不同加载阶段的4个点.由图可知,分析尺度转换发生在第9个增量步,自适应宏细观递进有限元分析与全细观数值模拟的曲线基本重合,表明自适应宏细观递进有限元分析在单元层次上可以达到与全细观模拟相当的精度.根据宏观损伤演化曲线,在应力达到峰值后的损伤开裂软化阶段,随着位移荷载的逐渐增大,宏观损伤量逐渐增大.
图4 模型A的宏观应力-位移及宏观损伤演化曲线
图5给出了对应于图4中点Ⅰ～Ⅳ的细观损伤分布.与宏观损伤变化规律一致,随着加载位移的逐渐增大,细观损伤分布范围和量值均逐渐增大.由此可知,采用本文方法可同时在宏观尺度和细观尺度上定量分析混凝土的损伤演化过程.
(a) 点Ⅰ
图6对比了不同细观模型下自适应宏细观递进有限元分析所得的宏观应力-位移曲线.由图可知,3条曲线在分析尺度转换前完全重合,而在分析尺度转换为宏细观多尺度后则呈现出一定的离散性,体现了混凝土细观随机性对其宏观力学行为的影响.
图6 AHS宏观应力-位移曲线
算例2模拟了混凝土狗骨试件受拉损伤开裂过程.试件尺寸、加载及边界条件见图7(a).骨料粒径范围、质量分数、宏细观模型材料参数取值与算例1相同,位移荷载分为100步逐级施加.图7(b)给出了宏观网格以及与其中2个宏观积分点关联的细观模型有限元网格.
(a) 试件尺寸、加载及边界条件
图8对比了自适应宏细观递进有限元分析和全细观数值模拟所得的位移加载边界反力(加载边界上各节点竖向反力之和)与加载位移的关系曲线.图中,点ⅰ～ⅳ为DNS曲线软化段上不同阶段的4个点.由图可知,两者总体上基本一致,但与算例1相比,损伤开裂软化阶段的差异有所增大.究其原因在于,算例2中自适应宏细观递进有限元分析的细观模型与全细观模型具有不同的细观结构.
图8 加载边界反力-位移曲线
图9给出了试件名义应力(加载边界上各节点竖向反力之和与试件最小截面宽度之比)与开裂位移(加载位移和与名义应力相应的弹性位移之差)的关系曲线,同时还给出了根据不同尺寸狗骨试件物理试验得到的曲线分布范围[43].由图可知,自适应宏细观递进有限元分析与全细观模拟所得的名义应力-开裂位移曲线基本一致,且均位于试验曲线分布范围内.
图9 名义应力-开裂位移曲线
图10给出了分析尺度自适应转换过程.由图可知,发生分析尺度转换的宏观积分点位于试件最小截面处,且呈现出两侧先转换、中间后转换的特点,符合试件的受力特点.
图11给出了与不同宏观单元(单元编号分别为62、55和47)积分点关联的细观模型在不同加载阶段(对应于图8中的点Ⅰ～Ⅳ)的细观损伤分布.由图可知,随着加载位移的逐渐增大,各细观模型的损伤范围和量值亦呈现出逐渐增大的变化特征,进而影响试件的宏观受力状态(见图8).此外,与不同宏观积分点关联的细观模型具有相异的细观结构并呈现出不同的损伤开裂路径,表明本文方法不仅可以通过宏-细观尺度连接为宏观尺度分析提供本构关系,亦可在此过程中体现混凝土材料特性的随机性.
(a) 第10个增量步
(a) 宏观单元62
图12给出了自适应宏细观递进有限元分析所得的宏观损伤演化过程.由图可知,试件宏观损伤量呈现出随加载位移增大而增大的变化规律.在软化段初期,宏观损伤分布总体呈现出两侧大、中间小的分布特征;而在软化段中后期,宏观损伤分布逐渐趋于均匀,与狗骨试件在受拉条件下的破坏过程相符[44].
图13给出了在不同加载阶段(对应于图8中的点ⅰ～ⅳ)全细观数值模拟所得的细观损伤分布.由图可知,细观损伤量首先出现于试件最小截面附近的ITZ内,随后向两侧的砂浆中延伸并集聚,最终形成一条贯穿试件的损伤裂缝带.虽然受到细观材料结构的影响,损伤裂缝带分布具有随机性,但整体处于试件中部,与自适应宏细观递进有限元分析所得的宏观损伤分布特征相符.
(a) 点Ⅰ
(a) 点ⅰ (b) 点ⅱ (c) 点ⅲ (d) 点ⅳ
图14给出了加载过程中自适应宏细观递进有限元模型计算自由度的变化过程.由图可知,在加载初期,与全细观模型相比,自适应宏细观递进有限元模型的计算自由度数量基本可忽略不计.随着部分宏观积分点的分析尺度由单一宏观尺度转换为宏细观多尺度,自适应宏细观递进有限元模型的计算自由度有所增加,但直至完成加载,自适应宏细观递进有限元模型的计算自由度仅约为全细观模型的8.35%.此外,在配置为Intel©CoreTMi9-9900 CPU@3.1 GHz、64 GB内存的计算机上,自适应宏细观递进有限元分析与全细观数值模拟的CPU耗时分别为1.3与7.4 h,前者约为后者的17.57%.由此可知,与计算自由度数量的比值相比,CPU耗时的比值相对较大,这是因为在宏细观递进多尺度分析中需进行宏细观尺度连接 (局部化和均匀化) .但相较而言,自适应宏细观递进有限元分析的CPU耗时仍远少于全细观数值模拟,体现了其在计算效率方面的优势.
图14 自由度数量变化
1) 通过在宏细观递进多尺度分析中实施分析尺度由单一宏观尺度至宏细观多尺度的自适应转换,可在保证分析精度的前提下,缩减细观计算规模,提高分析效率.
2) 通过在分析中依据宏观积分点的积分范围,自适应建立与之关联的细观模型,既可实现变尺寸细观模型条件下的宏细观递进有限元分析,又可体现混凝土材料特性的随机性.
3) 通过对细观损伤加载区进行均匀化,可获取混凝土宏观损伤量,实现在损伤开裂软化阶段对混凝土损伤状态进行宏细观跨尺度定量表征.
4) 算例分析中,自适应宏细观递进有限元分析的计算自由度数量和CPU耗时分别约为全细观数值模拟的8.35%和17.57%,体现了本文方法在计算效率方面的优势.
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