王丽，全卫贞，黄日娣，周敬人
(1.湛江幼儿师范专科学校数学系,广东 湛江 524037; 2.岭南师范学院基础教育学院，广东 湛江 524037)
差分方程是用来刻画自然和社会系统按照离散时间演化规律的重要数学工具，是微分方程的离散化，它在理论上深入的、独立的研究开始于20世纪90年代初期.有理差分方程的解的单调性、有界性、周期性、渐近稳定性等是近年来各国研究差分方程的热点，到目前为止，线性差分方程的解的理论发展比较成熟，但是对于高阶有理差分方程的精确解情况却还处于研究阶段，尤其是当分子或分母含有二次项时，方程看似简单，但解的性质却十分复杂，不少研究成果就此产生[1-13]：
Kurbanli,Cinar和Yalcinkaya在文献[4]中研究了差分系统
的正解序列的有界性、稳定性、周期性等，其中参数和初值均为正数.
成文凯在文献[5]中研究了三阶有理差分系统
的解的有界性、平衡点的存在性稳定性和解收敛到平衡点的速率等问题.
骆元媛在文献[6]中研究有理差分方程
的奇点集和解的精确表达式，并进一步讨论了各种不同情况下的解的全局性态等.
陈云在文献[7]中研究下列有理差分方程
的解的渐近性、有界性、周期性、振动性等，并给出了平衡解是汇点、排斥点(也称为源点)、鞍点、非双曲点等的充要条件等.
基于上述研究，本文将进一步研究分子含有二次项的三阶有理差分方程
的渐进稳定性及平衡点成为汇点、双曲点和非双曲点的条件，其中a,b,c,d∈R+，初始值x-2,x-1,x0∈R+.
对于有理差分方程
(1)
式中a,b,c,d∈R+，初始值x-2,x-1,x0∈R+.
定义2 由三阶有理差分方程
xn+1=f(xn,xn-1,xn-2)
(2)
λ3-a1λ2-a2λ-a3=0
(3)
为(2)的特征方程，其根称为特征根.
定理2[3](线性稳定性)
现在只研究(1-a)(b+c)≠1的情况.
fw(u,v,w)=a.
定理5对于有理差分方程(1)，
证明1)因为
于是由定理1[2]知，当
2) 由于
于是由定理1[2]知，当
证明
从而FJ(0,0,0)的特征多项式为
证法3 由证法1知，方程(1)的特征方程为λ3-a=0，即p(λ)=λ3-a=0，于是
整理得关于z的方程为
(1-a)z3+3(1+a)z2+3(1-a)z+1+a=0，
此时取a0=1-a,a1=3(1+a),a2=3(1-a),a3=1+a，构造三阶矩阵
它的三个主子式分别为
Δ1=a1=3(1+a)，
Δ2=a1a2-a0a3=9(1+a)(1-a)-(1-a)(1+a)=8(1-a2)，
Δ3=a3·Δ2=(1+a)·8(1-a2).
于是其特征方程为
λ3+b(a-1)2λ2-(a-1)(c-ac-2)λ-a=0，
令P(λ)=λ3+b(a-1)2λ2-(a-1)(c-ac-2)λ-a=0，于是
化简得关于z的方程为
[(b+c)(1-a)2-(1-a)]z3+[(b-c)(1-a)2+a+5]z2+
[-(b+c)(1-a)2+5(1-a)]z+[-(b+c)(1-a)2+3a-1]=0，
取
a0=(b+c)(1-a)2-(1-a)，
a1=(b-c)(1-a)2+a+5，
a2=-(b+c)(1-a)2+5(1-a)，
a3=-(b+c)(1-a)2+3a-1，
构造三阶矩阵
它的三个主子式分别为Δ1=a1，Δ2=a1a2-a0a3，Δ3=(a1a2-a0a3)a3，根据Routh-Hurwitz判别法和Schur-Cohn判别法，当a0>0且Δ1>0,Δ2>0,Δ3>0时，有理差分方程(1)的平衡解
是局部渐近稳定的，因此得如下定理：
Δ2>0,Δ3>0,且a0>0.
